Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm ax2+bx+c=0 heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits ) omdat de hoogste macht van de onbekende x die voorkomt 2 is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.)
De oplossing van de vergelijking ax2+bx+c=0 met is
x=-b+b2-4ac2a∨x=-b-b2-4ac2a
Deze oplossing noem je de abc-formule.
Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe ax2+bx+c=0 in algemene zin oplossen. Je schrijft die formule daartoe eerst in de vorm a(x-p)2+q=0 waarin (p,q) de top van de parabool is.
Die top ga je eerst berekenen. Daartoe bepaal je de symmetrieas. Deze lijn is de middelloodlijn tussen twee punten op gelijke hoogte op de parabool, bijvoorbeeld op hoogte y=c. Die twee punten bereken je dus uit ax2+bx+c=c, ofwel ax2+bx=0. Dit geeft x=0∨x=-ba. De symmetrieas is daarom x=-b2a. Dit invullen levert de top op: T(-b2a,c-b24a).
Dus moet je oplossen
a(x+b2a)2+c-b24a=0. Dit geeft (x+b2a)2=(b2a)2-ca=b2-4ac4a2
Worteltrekken:
x+b2a=±b2-4ac4a2
En nu een beetje herleiden:
x=-b2a±b2-4ac4a2=-b2a±b2-4ac2a=-b±b2-4ac2a
En hiermee is de abc-formule gevonden.
Het is bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst de discriminantD=b2-4ac te berekenen.
Je kunt hiermee de oplossing van elke kwadratische vergelijking kortweg zo opschrijven:
De oplossing van de vergelijking ax2+bx+c=0 is x=-b±D2a.
Bekijk ook de (engelstalige) videoclip "quadratic formula" in het Practicum.