Html

Om te onthouden

Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm ax2+bx+c=0 heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits ) omdat de hoogste macht van de onbekende x die voorkomt 2 is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.)

De oplossing van de vergelijking ax2+bx+c=0 met is

x=-b+b2-4ac2ax=-b-b2-4ac2a

Deze oplossing noem je de abc-formule.

Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe ax2+bx+c=0 in algemene zin oplossen. Je schrijft die formule daartoe eerst in de vorm a(x-p)2+q=0 waarin (p,q) de top van de parabool is.

Die top ga je eerst berekenen. Daartoe bepaal je de symmetrieas. Deze lijn is de middelloodlijn tussen twee punten op gelijke hoogte op de parabool, bijvoorbeeld op hoogte y=c. Die twee punten bereken je dus uit ax2+bx+c=c, ofwel ax2+bx=0. Dit geeft x=0x=-ba. De symmetrieas is daarom x=-b2a. Dit invullen levert de top op: T(-b2a,c-b24a).

Dus moet je oplossen

a(x+b2a)2+c-b24a=0. Dit geeft (x+b2a)2=(b2a)2-ca=b2-4ac4a2

Worteltrekken:

x+b2a=±b2-4ac4a2

En nu een beetje herleiden:

x=-b2a±b2-4ac4a2=-b2a±b2-4ac2a=-b±b2-4ac2a

En hiermee is de abc-formule gevonden.

Het is bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst de discriminantD=b2-4ac te berekenen.

  • Als heb je twee waarden in de oplossing.
  • Als D=0 heb je één waarde in de oplossing.
  • Als heb je geen reële waarden in de oplossing.

Je kunt hiermee de oplossing van elke kwadratische vergelijking kortweg zo opschrijven:

De oplossing van de vergelijking ax2+bx+c=0 is x=-b±D2a.

Bekijk ook de (engelstalige) videoclip "quadratic formula" in het Practicum.

Annuleren